Bonjour ! Pour un exercice je dois montrer que : Deux variables aléatoires réelles suivant une loi de Bernoulli sont indépendantes si et seulement si leur covar

Réponse :

Explications étape par étape

soit X et Y 2 variables aléatoires

X et Y suivent une loi de Bernouilli de paramètres p et p'

donc Var(X)=p² et Var(Y)=p'²

ainsi cov(X,Y)=∑(x.y)-p.p'

X et Y indépendantes équivaut à Var(X.Y)=Var(X).Var(Y)

donc ∑(x.y)²-E(XY)=(∑x-p²).(∑y-p'²)

donc ∑(x.y)²-E(XY)=∑x.∑y-p².∑y-∑x.p'²+(pp')²

donc ∑(x.y)²-∑(x.y)=∑x.∑y-p².∑y-∑x.p'²+(pp')²

donc (∑(x.y)-p.p')²=0

donc cov(X,Y)=0