Bonjour, actuellement en T•ES spé maths, j’ai cet exercice qui me pose des soucis ! Pouvez-vous m’aider s’il vous plaît !!

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour SpyFox,

Je ne connaissais pas cette partie du programme de Terminale

mais en regardant un cours sur internet je pense avoir compris ce qu il t'est démandé dans cet exercice

1.a.

en 2011 Monsieur X a fait un don

donc [tex]e_0 = 1[/tex] et [tex]e_1 = 0.90[/tex]

b.

il faut compléter les probabilités sur chaque branche

[tex]e_n[/tex] est la probabilité pour avoir [tex]E_n[/tex]

[tex]1-e_n[/tex] est la probabilité pour avoir l'évènement contraire de [tex]E_n[/tex]

Ensuite pour passer de  à  la probabilité est 0.9

et pour passer de  à l'évènement contraire de  la probabilité est 1-0.9=0.1

pour la branche du bas

pour passer l'évènement contraire de  à  la probabilité est 0.4

et pour passer l'évènement contraire de  de l'évènement contraire de  la probabilité est 1-0.4=0.6

c.

Regardons sur le graphe on a deux moyens d'arriver à [tex]E_{n+1}[/tex]

soit en passant par la branche du haut et ca donne 0.9 * [tex]e_n[/tex]

soit en passant par la branche du bas et ca donne 0.4 * [tex](1-e_n)[/tex]

donc [tex]e_{n+1} = 0.9 e_n + 0.4 ( 1 - e_n) = 0.5 e_n + 0.4[/tex]

2. a.  

Nous avons deux états

A = "M. X est donateur"

ou

B = "M. X n'est pas donateur"

pour passer de A à A la proba est 0.9

pour passer de A à B la proba est 0.1

pour passer de B à A la proba est 0.4

pour passer de B à B la proba est 0.6

il faut faire un graphe avec deux noeuds pour A et B et 4 fléches

une qui part de A et va vers B

une qui part de A et va vers A

une qui part de B et va vers A

une qui part de B et va vers B

Tu as du voir des exemples de ce type de graphe dans ton cours

je te l'ai mis en piece jointe

la matrice de transition est donc la matrice 2x2 suivante

0.9  0.1

0.4  0.6

b.

On applique le cours

[tex]P_n = [ e_n 1-e_n][/tex]

[tex]P_{n+1} = P_n M[/tex]

c.

P0 est l'état en 2011

P1 est l'état en 2012

P2 est l'état en 2013

P3 est l'état en 2014

il faut donc calculer P3

or  [tex]P_3 = P_0 M^3[/tex] (résultat du cours)

il faut calculer [tex]M^3[/tex] avec la calculatrice

et ensuite faire le produit [tex]P_0 M^3[/tex]

tu peux poster ton résultat dans les commentaires

d.

si on écrit cette équation [tex]P_{n+1} = P_n M[/tex] cela donne pour le premier terme de [tex]P_{n+1}[/tex]

[tex]e_{n+1} = 0.9 e_n + 0.4 ( 1 - e_n)[/tex]

et nous retrouvons l'équation du 1.c

3.a.

l état stable P est tel que P = P x M

ce qui donne

(1) x = 0.9 x + 0.4 y

(2) y = 0.1 x + 0.6 y

(3) x + y = 1

donc 0.1x = 0.4y soit x = 4y  

remplaçons dans (3)

4y + y = 1  

donc 5y = 1

y = 1/5 = 0.20

et x = 1 - y = 0.80

l'état stable est donc P = [ 0.80 0.20 ]

b. la limite de la suite  est donc 0.80

c. cela veut dire que la probabilité que M. X fasse un don se stabilise à 80%

l'association peut être confiante, merci M. X