Bonjour j'ai un urgent besoin d'aide dans mon devoir en algebre linéaire (matrices) je ne sais meme pas ou commencer :( Merci de votre aide! Soit la matrice M =
Question
Bonjour
j'ai un urgent besoin d'aide dans mon devoir en algebre linéaire (matrices) je ne sais meme pas ou commencer :(
Merci de votre aide!
Soit la matrice M = 1 1
1 0
Posons Lambda = (1 – racine de 5) divisé par 2
Considérons l'ensemble des vecteurs colonnes X ayant la propriété que MX = lambdaX et appelons le E
A) Vérifier que le vecteur colonne lambda, 1 appartient à l’ensemble E
B) Vérifier que l’ensemble E est un sous espace de R2c en vérifiant que les 3 conditions requises de la définition soient satisfaites
- 0 appartient au sous espace
- Pour tout u,v appartenant au sous espace, on a u + v appartient au sous-espace
- Pour tout u appartenant au sous espace, et c appartenant aux réels, on a que cu appartient au sous espace
1 Réponse
-
1. Réponse Anonyme
A)Calculons le produit de M par le vecteur [tex]\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)[/tex].
[tex]MX=\left( \begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} lambda +1 \\ lambda+0 \end{array} \right)\\
=lambda\left( \begin{array}{c} 1+1/lambda \\ 1end{array} \right)[/tex]
Or, lambda est une solution de [tex]x^2-x-1=0[/tex], ce qui signifie que [tex]lambda=1+1/lambda[/tex].
Donc [tex]MX=lambda\left( \begin{array}{c} lambda \\1 \end{array} \right)[/tex]
Et on a montré que [tex]\left( \begin{array}{c} lambda \\ 1 \end{array} \right)[/tex] vérifie la propriété, donc appartient à l'ensemble E.
B) 0 est ici le vecteur vertical [tex]\left( \begin{array}{c} 0\\ 0 \end{array} \right)[/tex]
On a bien: M*0=0=lambda*0
u appartient à E entraine : Mu=lambda*u
v appartient à E entraine : Mv=lambda*v
De plus, la multiplication d'une matrice par un vecteur est distributive: M(X+Y)=MX+MY
Donc: M(u+v)=Mu+Mv=lambda*u+lambda*v=lambda(u+v)
=> u+v appartient à E
M(cu)=c*Mu=c*lambda*u=lambda*(cu)
Donc cu appartient à E.