Exercice 1 Soit f une fonction définie sur ]-∞;1[ par f(x)=3-2/√(1-x) Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]-∞;1[en utilisant les inéga

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Exo 1 :

Soient a < b < 1

-a > - b > -1

On a multiplié chaque membre par un nb négatif "-1" donc on change le sens de l'inégalité.

1-a >  1-b > -1+1

Ajouter 1 aux  membres ne change pas le sens de l'inégalité.

1-a > 1-b > 0

√(1-a) > √(1-b) > 0 car la fct racine est croissante sur ]0;+inf[ donc la variable et son image varient dans le même sens .

1/√(a-1) <  1/√(1-b) car la fct inverse est décroissante sur son intervalle de définition donc donc la variable et son image varient en sens contraire.

-2/√(a-1) >  -2/√(1-b)

On a multiplié chaque membre par un nb négatif "-2" donc on change le sens de l'inégalité.

3-2/√(a-1) > 3-2/√(1-b)

Le fait d'ajouter 3 aux 2 membres ne change pas le sens de l'inégalité.

Donc :

f (a) >  f(b)

Sur ]-inf;1[  , on est parti de a < b pour arriver à f(a) > f(b) , ce qui prouve que la fct f(x) est décroissante sur cet intervalle.

Exo 2 :

1)

f(x)=-x²-8x-7

C'est bien ça ?

On développe -(x+4)²+9. Je crois que tu mets des  [....] en trop.

-(x+4)²+9=-(x²+8x+16)-9=-x²-8x-16+9=-x²-8x-7

Donc :

f(x)=-(x+4)²+9

2)

a)

On résout :

-x²-8x-7=-7

-x²-8x=0

x(-x-8)=0

x=0 OU -x-8=0

x=0 OU x=-8

b)

f(x)=-(x+4)²+9

f(x)-9=-(x+4)²

(x+4)² est toujours positif car c'est un carré ou nul si x=-4.

Donc :

-(x+4)² est toujours négatif  ou nul si x=-4

Donc :

f(x)-9 ≤ 0 ( et vaut zéro pour x=4)

Donc :

f(x) ≤ 9 ( et vaut 9 si x=4)

f(x) passe par un maximum qui vaut 9 atteint pour x=4.

3)

On résout :

-(x+4)²+9=0 qui donne :

-(x+4)²=-9  soit :

(x+4)²=9 qui donne :

x+4=-√9  OU x+4 = √9

x+4=-3  OU x+4=3

x=-7 OU x=-1