Bonjour pouvez vous m'aider pour mon exercice merci

Réponse :

1) Faux

2) Vrai

3) Faux

4) Vrai

Explications étape par étape

Il est important de toujours vérifier que la fonction est définie sur son intervalle de dérivation, ici c'est bien [tex]\mathbb{R}[/tex]

1) Décomposons f(x), on a d'une part [tex]-x[/tex] et d'autre part 2

Pour tout x dans R,

[tex]-x = (-1)*x[/tex] , donc la fonction [tex]f_2(x) = -x[/tex] admet pour dérivée [tex]f_2'(x) = -1[/tex]

Et 2 étant une constante, [tex]f_3(x) = 2[/tex] admet pour dérivée [tex]f_3'(x) = 0[/tex]

Si on compose les deux, on a [tex]f'(x) = f_2'(x) + f_3'(x) = -1 + 0 = -1 \neq 0[/tex]

2) En reprenant le même processus, on trouve que

[tex]Soient :\\g_1(x) = x^3\\g_2(x) = -3x^2\\g_3(x) = -9x\\g_4(x) = 3\\[/tex]

On a alors [tex]g(x) = g_1(x) + g_2(x) + g_3(x) + g_4(x)[/tex]

D'où

[tex]g'(x) = g_1'(x) + g_2'(x) + g_3'(x) + g_4'(x) \\ = 3x^2 + (-6x) + (-9) + 0[/tex]

Il suffit de développer la partie de droite pour retrouver ce résultat

3)

On trouve par le même procédé (je détaille de moins en moins) que [tex]h'(x) = (-6x^2) + 0[/tex]

D'où

[tex]h'(-1) = -6 * (-1)^2 + 0\\= - 6 * 1\\= - 6\\\neq 10[/tex]

4)

En fait, la formulation est assez pompeuse, mais dire qu'une courbe est parallèle à l'axe des abscisses ça revient à dire que son coefficient directeur est égal à 0.

Le coefficient directeur de la tangente en un point, c'est par définition la dérivée en ce point

Finalement, on cherche simplement à montrer que [tex]C'(2) = 0[/tex]

On a

[tex]C'(q) = -8q + 16 + 0\\C'(2) = -8*2 + 16 = 0 \\[/tex]

Ce qui est bien le résultat attendu