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Question

bjr vous pourriez m'aider a faire ce devoir si vous y arrivez pas ces pas grave. soit abcd un parallelogramme e et f deux points comme ci-dessous
1) montre que EBA=90°
2)montre que FAB=90°
3)quelle est la nature FABE ?
4) montre que AF=BE
5) montre que BDE=ACF
6) deduis en que FAC=EBD
7)deduis de ce qui precede que FC=ED
bjr vous pourriez m'aider a faire ce devoir si vous y arrivez pas ces pas grave. soit abcd un parallelogramme e et f deux points comme ci-dessous 1) montre que
bjr vous pourriez m'aider a faire ce devoir si vous y arrivez pas ces pas grave. soit abcd un parallelogramme e et f deux points comme ci-dessous 1) montre que

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1 Réponse

  • Bonsoir,

    1) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
    Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car ABCD est un parallélogramme.
    La droite (EB) est perpendiculaire à la droite (CD) (par construction)
    D'où la droite (EB) est perpendiculaire à la droite (AB).
    Par conséquent l'angle EBA = 90°

    2) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
    Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car ABCD est un parallélogramme.
    La droite (FA) est perpendiculaire à la droite (CD) (par construction)
    D'où la droite (FA) est perpendiculaire à la droite (AB).
    Par conséquent l'angle FAB = 90°

    3) Le quadrilatère FABE possède 4 angles droits (EFA, FAB, ABE et BEF).
    C'est donc un rectangle.

    4) FABE est un rectangle ===> ses côtés opposés ont la même longueur, et en particulier les côtés [AF] et [BE].
    Par conséquent, AF = BE.

    5) Les droites (AC) et (BD) sont parallèles et sont coupées par la droite (FD) respectivement en C et en D.
    D'où les angles BDE et ACF sont des angles correspondants.
    Or des angles correspondants ont la même mesure.
    Par conséquent :  [tex]\widehat{BDE}=\widehat{ACF}[/tex]

    6) La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°

    Dans le triangle FAC, 

    [tex]\widehat{AFC}+\widehat{ACF}+\widehat{FAC}=180^o\\\\90^o+\widehat{ACF}+\widehat{FAC}=180^o\\\\\widehat{FAC}=180^o-90^o-\widehat{ACF}\\\\\boxed{\widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}}[/tex]

    Dans le triangle DEB, 

    [tex]\widehat{DEB}+\widehat{BDE}+\widehat{EBD}=180^o\\\\90^o+\widehat{BDE}+\widehat{EBD}=180^o\\\\\widehat{EBD}=180^o-90^o-\widehat{BDE}\\\\\boxed{\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BDE}}[/tex]

    Or nous avons montré dans la question 5 que   [tex]\widehat{BDE}=\widehat{ACF}[/tex].

    Donc [tex]\widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}[/tex]  et   [tex]\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BDE}=90^o-\widehat{ACF}[/tex]

    Par conséquent,  [tex]\widehat{FAC}=\widehat{EBD}[/tex]

    7) Les triangles CFA et DEB sont isométriques (égaux) car ils ont un côté égal compris entre deux angles égaux.
    En effet : AC = BD (car  ABCD est un parallélogramme)
                   Angle FEC = angle EBD (voir point 6)
                   Angle ACF = angle BDE (voir point 5).

    Puisque ces triangles CFA et DEB sont isométriques, nous en déduisons que FC = ED.

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