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Question

bjr vous pourriez m'aider si vous arrivez pas c'est pas grave.
soit ABCD un parallelogramme,E et F deux points comme ci-dessous.
1)montre que EBA=90°
2)montre que FAB=90°
3)quelle est la nature de FABE ?
4) montre que AF=BE
5)montre que BDE=ACF
6)deduis en que FAC=EBD
7)deduis de ce qui precede que FC=ED
8)exprime l'aire du triangle FCA a l'aide de FC et FA
9)exprime l'aire du triangle EBD a l'aide de ED et EB
10)deduis en que les triangles FCA et EBD ont la même aire
11)exprime l'aire de AFEB a l'aide de AB et AF
12)quelle relation lie l'aire de AFEB avec l'aire de FAC et l'aire de ABEC ?
13)quelle relation lie l'aire de ABDC avec l'aire de EBD et la l'aire de ABEC ?
14) deduis en que AFEB et ABCD ont la meme aire
15)exprime alors l'aire du parallelogramme ABDC
bjr vous pourriez m'aider si vous arrivez pas c'est pas grave. soit ABCD un parallelogramme,E et F deux points comme ci-dessous. 1)montre que EBA=90° 2)montre q
bjr vous pourriez m'aider si vous arrivez pas c'est pas grave. soit ABCD un parallelogramme,E et F deux points comme ci-dessous. 1)montre que EBA=90° 2)montre q

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1 Réponse

  • Bonsoir,

    1) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
    Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car ABCD est un parallélogramme.
    La droite (EB) est perpendiculaire à la droite (CD) (par construction)
    D'où la droite (EB) est perpendiculaire à la droite (AB).
    Par conséquent l'angle EBA = 90°

    2) Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
    Les droites (CD) et (AB) sont parallèles car ABCD est un parallélogramme.
    La droite (FA) est perpendiculaire à la droite (CD) (par construction)
    D'où la droite (FA) est perpendiculaire à la droite (AB).
    Par conséquent l'angle FAB = 90°

    3) Le quadrilatère FABE possède 4 angles droits (EFA, FAB, ABE et BEF).
    C'est donc un rectangle.

    4) FABE est un rectangle ===> ses côtés opposés ont la même longueur, et en particulier les côtés [AF] et [BE].
    Par conséquent, AF = BE.

    5) Les droites (AC) et (BD) sont parallèles et sont coupées par la droite (FD) respectivement en C et en D.
    D'où les angles BDE et ACF sont des angles correspondants.
    Or des angles correspondants ont la même mesure.
    Par conséquent :  [tex]\widehat{BDE}=\widehat{ACF}[/tex]

    6) La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°

    Dans le triangle FAC, 

    [tex]\widehat{AFC}+\widehat{ACF}+\widehat{FAC}=180^o\\\\90^o+\widehat{ACF}+\widehat{FAC}=180^o\\\\\widehat{FAC}=180^o-90^o-\widehat{ACF}\\\\\boxed{\widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}}[/tex]

    Dans le triangle DEB, 

    [tex]\widehat{DEB}+\widehat{BDE}+\widehat{EBD}=180^o\\\\90^o+\widehat{BDE}+\widehat{EBD}=180^o\\\\\widehat{EBD}=180^o-90^o-\widehat{BDE}\\\\\boxed{\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BDE}}[/tex]

    Or nous avons montré dans la question 5 que   [tex]\widehat{BDE}=\widehat{ACF}[/tex].

    Donc [tex]\widehat{FAC}=90^o-\widehat{ACF}[/tex]  et   [tex]\widehat{EBD}=90^o-\widehat{BDE}=90^o-\widehat{ACF}[/tex]

    Par conséquent,  [tex]\widehat{FAC}=\widehat{EBD}[/tex]

    7) Les triangles CFA et DEB sont isométriques (égaux) car ils ont un côté égal compris entre deux angles égaux.
    En effet : AC = BD (car  ABCD est un parallélogramme)
                   Angle FEC = angle EBD (voir point 6)
                   Angle ACF = angle BDE (voir point 5).

    Puisque ces triangles CFA et DEB sont isométriques, nous en déduisons que FC = ED.

    8) Aire (FCA) = (1/2) x Base x hauteur
                          = (1/2) x FC x FA

    9) Aire (EBD) = (1/2) x Base x hauteur
                          = (1/2) x ED x EB

    10) On sait que FC = ED (voir point 7) 
                             FA = EB (voir point 4)
    Par conséquent, Aire (FCA) = Aire (EBD)

    11) Aire (AFEB) = Longueur x largeur
                              = AB x AF

    12) Aire (AFEB) = Aire (FAC) + Aire (ABEC)

    13) Aire (ABCD) = Aire (EBD) + Aire (ABEC)

    14) Aire (FAC) = Aire (EBD) (voir point 10)

    D'où Aire (AFEB) = Aire (ABCD)

    15) Puisque Aire (AFEB) = AB x AF (voir point 11), nous en déduisons que Aire (ABCD) = AB x AF.

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