Bonjour quelqun peut il m aider en math s il vous plaît Comment résoudre cette fonction : soit G définit par g(x)=(x+1)e^x, continue et dérivable sur l interval

Réponse : Bonjour,

[tex]\displaystyle \int (x+1)e^{x} \; dx=\int xe^{x}+e^{x} \; dx=\int xe^{x} \; dx+\int e^{x} \; dx[/tex]

On calcule [tex]\int xe^{x} \; dx[/tex], par une intégration par parties:

[tex]\displaystyle \int xe^{x} \; dx=xe^{x}-\int e^{x} \; dx=xe^{x}-e^{x}=e^{x}(x-1)[/tex]

Donc:

[tex]\displaystyle \int (x+1)e^{x} \; dx=e^{x}(x-1)+e^{x}=e^{x}(x-1+1)=xe^{x}[/tex]

Donc une primitive sur [tex]\mathbb{R}[/tex] de g est la fonction [tex]x \mapsto xe^{x}[/tex].

Vérification: On calcule la dérivée de la primitive trouvée:

[tex](xe^{x})'=1 \times e^{x}+e^{x} \times x=e^{x}(1+x)=e^{x}(x+1)=g(x)[/tex].

Donc la fonction [tex]x \mapsto xe^{x}[/tex], est bien une primitive de g sur [tex]\mathbb{R}[/tex].