Bonsoir, j’ai besoin d’aide pour ces deux exercices, quelqu’un peut m’aider svpp? Merci d’avance

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour Souyaah,

Question 3

1)

Nous ne pouvons pas diviser par 0

donc il faut s'assurer que [tex]x^2-2x+3[/tex] est différent de 0 pour que f soit définie sur R

quel est le discriminant de [tex]x^2-2x+3 = 0[/tex] ?

Discriminant  = 4-4*3 = 4-112 =-8

le discriminant est négatif, il n'y a donc pas de solution sur R

de ce fait [tex]x^2-2x+3[/tex] est différent de 0 pour tout x réel

et f est donc bien définie sur R

2)

il est toujours bon de remarquer que f est dérivable sur R

f est de la forme u/v dont la dérivée est [tex](u'v-uv')/ v^2[/tex]

avec u(x) = 4x

[tex]v(x) = x^2-2x+3[/tex]

donc u'(x) = 4 et v'(x) = 2x-2

[tex]f'(x) = (4(x^2-2x+3)-4x(2x-2) / (x^2-2x+3)^2\\f'(x) = (4x^2-8x+12-8x^2+8x) / (x^2-2x+3)^2\\f'(x) = (-4x^2+12) / (x^2-2x+3)^2\\f'(x) = \frac{4(3-x^2)}{(x^2-2x+3)^2}[/tex]

Question 4

j'imagine que [tex]g(x) = (x-1)e^x-0.5x^2[/tex] (on voit pas la fin sur la photo)

1)

g est dérivable et pour tout x réel

[tex]g'(x)=e^x+(x-1)e^x -x = x(e^x-1)[/tex]

2)

[tex]e^x-1 = 0\\<=> e^x = 1\\<=> x = 0[/tex]

pour x <= 0  

le signe de x est -

le signe de [tex]e^x-1[/tex] est -

donc le signe du produit est +

pour x >= 0  

le signe de x est +

le signe de [tex]e^x-1[/tex] est +

donc le signe du produit est +

donc g est toujours croissante sur R

si jamais tu as apprécié cette réponse tu peux la mettre comme la meilleure :-)