Mathématiques

Question

Bonjour a tous

 

Je suis en seconde et le prof de math nous as donner un devoir maison assez difficile si difficile que plus de la moitiée de la classe a du mal

 

ABC est un triangle rectangle en A tel que :

 

BC=2a et ABC l'angle ABC= \frac{\pi}{8}

 

Le point o est le milieu de [BC] et lepoint Hest le pied de la hauteur issue de A

 

a)Expliquez pourquoi l'angle AOH= \frac{\pi}{4}

 

b)Déduisez-en que AH = OH = \frac{a\sqrt{2}}{2} puis que AB= a\sqrt{2+\sqrt{2}

 

c)En utilisant le triangle AHB, trouvez cos \frac{\pi}{8} et sin \frac{\pi}{8}

 

Merci d'avance :)

Bonjour a tous Je suis en seconde et le prof de math nous as donner un devoir maison assez difficile si difficile que plus de la moitiée de la classe a du mal A

0 Commentaire.

1 Réponse

  • 1a)
    On calcule d'abord l'angle ACB.
    ACB+ABC+BAC=π donc
    ACB=π-ABC-BAC=π-π/8-π/2=3π/8
    O est le milieu de l'hypoténuse BC donc O est le centre du cercle circonscrit (propriété du triangle rectangle).
    Donc OA=OB=OC
    Donc OAC est un triangle isocèle en O.
    Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux donc OAC=ACO=ACB=3π/8
    On en déduit l'angle COA:
    COA+OAC+ACO=π
    COA=π-OAC-ACO=π-3π/8-3π/8=π/4
    Or COA=AOH donc AOH=π/4

    1b) Dans le triangle AOH rectangle en H, OA est l'hypoténuse. Comme OA=OB=OC=BC/2, OA=a
    SinAOH=Sin(π/4)
    Or Sin(π/4)=Cos(π/4)=[tex] \frac{ \sqrt{2}}{2}[/tex]
    Donc
    SinAOH=AH/AO onc AH=OA*Sin(π/4)=[tex] \frac{a \sqrt{2} }{2} [/tex]
    CosAOH=OH/AO donc OH=OA*Cos(π/4)=[tex] \frac{a \sqrt{2} }{2} [/tex]

    AH=OH=[tex] \frac{a \sqrt{2} }{2} [/tex]

    On applique le théorème de Pythagore dans le triangle AHB:
    AB²=AH²+HB²
    Or HB=HO+OB=[tex] \frac{a \sqrt{2} }{2} +a[/tex]

    On a donc
    [tex]AB^{2}=( \frac{a \sqrt{2} }{2})^{2}+(\frac{a \sqrt{2} }{2}+a)^{2}[/tex]

    [tex]AB^{2} = \frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{2}+2*\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}+a^{2} [/tex]

    [tex]AB^{2}=2a^{2}+a^{2}\sqrt{2}=a^{2}(2+\sqrt{2}) [/tex]

    Donc
    [tex]AB=a\sqrt{2+ \sqrt{2}} [/tex]

    2. Dans le triangle AHB :
    SinABH=Sin(π/8)=AH/AB
    Donc
    [tex]Sin(\frac{ \pi }{8}) =\frac{a\sqrt{2} }{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}= \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}} [/tex]

    CosABH=Cos(π/8)=BH/AB
    Donc
    [tex]Cos(\frac{\pi}{8})=\frac{a\sqrt{2}+2a}{2a\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2+\sqrt{2}}} [/tex]


Autres questions