Bjr, est ce que pouvez vous m'aider s'il vous plait a ce deux exercices .MErci beaucoup

Réponse :

Bonjour

Exercice 49

1) On pose Uₙ = f(n)

f'(n) = -2n + 6

Donc f'(n) ≥ 0 sur ]-∞ ; 3] et f'(x) ≤ 0 sur [3 ; +∞[

Donc f(n) est croissante sur ]-∞ ; 3] et décroissante sur [3 ; +∞[

La suite U est donc décroissante à partir du rang U₃

2) On pose Uₙ = f(n)

f'(n) = (2n(n+2) - n²)/(n+2)² = (n² + 4n)/(n+2)² = n(n+4)/(n+2)²

f'(n) ≥ 0 sur [0 ; +∞[

donc f est croissante sur [0 ; +∞[

La suite n est donc croissante

3) Posons Uₙ = f(n)

f'(n) = 2/2√2n+1 = 1/√2n+1

f'(n) ≥ 0 sur ]0 ; +∞[

donc f(n) est croissante sur ]0 ; +∞[

La suite U est donc croissante

4) Posons Uₙ = f(n)

f'(n) = -3n² + 12

donc f'(n) ≥0 sur [0 ; 2] et f'(n) ≤ 0 sur [2 ; +∞[

donc f est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[

La suite U est donc décroissante à partir du rang U₂

Exercice 50

1) Uₙ₊₁/Uₙ ≥ 1 ⇔ Uₙ₊₁ ≥ Uₙ (car Uₙ >0) ; la suite U est donc croissante

  Uₙ₊₁/Uₙ ≤ 1 ⇔ Uₙ₊₁ ≥ Uₙ (car Uₙ >0) ; la suite U est donc décroissante

2) a) Uₙ = 5ⁿ

Uₙ₊₁ = 5ⁿ⁺¹

Uₙ₊₁/Uₙ = 5ⁿ⁺¹/5ⁿ = 5

Uₙ₊₁/Uₙ ≥ 1 donc la suite U est croissante

b) Vₙ =(2/3)ⁿ

Vₙ₊₁ = (2/3)ⁿ⁺¹

Vₙ₊₁/Vₙ = (2/3)ⁿ⁺¹/(2/3)ⁿ = 2/3

Vₙ₊₁/Vₙ ≤ 1 donc la suite V est décroissante

c) Wₙ = 5ⁿ/3ⁿ⁺¹

Wₙ₊₁ = 5ⁿ⁺¹/3ⁿ⁺²

Wₙ₊₁/Wₙ = (5ⁿ⁺¹/3ⁿ⁺²)/(5ⁿ/3ⁿ⁺¹) = 5/3

Wₙ₊₁/Wₙ ≥ 1 donc la suite W est croissante

d) Tₙ = 4n/2ⁿ

Tₙ₊₁ = 4(n+1)/2ⁿ⁺¹

Tₙ₊₁/Tₙ = (4(n+1)/2ⁿ⁺¹)/(4n/2ⁿ) = (2+1)/2n

Tₙ₊₁/Tₙ ≤ 1 (dés que n ≥ 2) donc la suite T est décroissante