Bonjour, quelqu'un sait faire ça? Aidez-moi svp je comprend rien svp Résoudre dans R l’équation (2cos(x)− [tex]\sqrt{2}[/tex]) (sin²(x)-1)=0

Réponse :

Bonjour, tu sais que un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des deux est nul:

tu peux donc écrire ton équation comme cela:

[tex]2cos(x) - \sqrt{2} =0[/tex]  ou  [tex]sin(x) ^{2} -1=0[/tex]

pour la première expression, en isolant le cos(x) tu obtiens :

[tex]cos(x) = \frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]  tu reconnais la une valeur de cosinus d'angle remarquable étant :[tex]\frac{\pi }{4}[/tex] cependant en regardant la figure en dessous tu remarque qu'il y a plusieurs valeurs d'angles dont le cos. sont égales à [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]  (points C et D)

Les solutions sont demandé dans R donc il faut prendre en compte tout les angles possibles, on a donc [tex]x=\frac{ \pi }{4}+2k\pi[/tex]  mais aussi [tex]x=\frac{ -\pi }{4}+2k\pi[/tex] avec k ∈ Z

Pour la deuxième expression on peut l'écrire [tex]sin(x)^{2} =1[/tex] donc on sait que :

[tex]sin(x)=1[/tex] ou [tex]sin(x)=-1[/tex]

En regardant encore une fois sur la figure tu remarque que les valeurs d'angles dont les sin sont égales à 1 ou -1 ( points E et F ) sont :

[tex]x = \frac{\pi }{2} +2p\pi[/tex] ou [tex]x = \frac{-\pi }{2} +2p\pi[/tex] que l'on peut rassembler en :

[tex]x = \frac{\pi }{2} +p\pi[/tex] avec p ∈ Z

Finalement l'ensemble S des solutions est :

S = {[tex]x=\frac{ \pi }{4}+2k\pi[/tex];[tex]x=\frac{ -\pi }{4}+2k\pi[/tex], k ∈ Z ; [tex]x = \frac{\pi }{2} +p\pi[/tex], p ∈ Z }

J'espère que tu as compris, c'est une chose un peu compliqué au début n'hésite pas a poser plus de questions.