Bonjour, pourriez vous m'aider à résoudre cet exercice de première spé maths Déterminer les maximums et les minimums de la fonction f définie par f(x)=4sin(x)-(

Réponse : Bonjour, la fonction f est périodique, de période [tex]2\pi[/tex].

Il suffit donc d'étudier les variations de f sur l'intervalle [0;[tex]2\pi[/tex]].

On calcule la dérivée f':

[tex]f'(x)=4 \cos(x)-\cos(x)2\sin(x)=4\cos(x)-2\sin(x)\cos(x)\\f'(x)=\cos(x)(4-2 \sin(x))[/tex]

On résout l'équation f'(x)=0:

[tex]\displaystyle \cos(x)(4-2 \sin(x))=0\\\cos(x)=0 \quad ou \quad 4-2 \sin(x)=0\\x=\frac{\pi}{2} \; [2\pi] \quad ou \quad 2\sin(x)=4\\x=\frac{\pi}{2}[\pi] \quad ou \quad \sin(x)=2[/tex]

Comme pour tout [tex]x \in \mathbb{R}, -1 \leq \sin(x) \leq 1[/tex], alors l'équation [tex]\sin(x)=2[/tex], n'a pas de solution.

Les extremums de f sont donc atteints en [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex] et [tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex].

On étudie le signe de f'(x).

On a que [tex]\cos(x) \geq 0[/tex], sur l'intervalle [tex]\displaystyle [0;\frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2};2\pi][/tex], et [tex]\cos(x) \leq 0[/tex], sur l'intervalle [tex]\displaystyle [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}][/tex].

On résout l'inéquation [tex]4-2 \sin(x) \geq 0[/tex]:

[tex]4-2 \sin(x) \geq 0\\2 \sin(x) \leq 4\\\sin(x) \leq 2[/tex]

Donc [tex]4-2 \sin(x) \geq 0[/tex], sur [tex]\mathbb{R}[/tex], donc sur [tex][0;2\pi][/tex].

On a donc le tableau suivant:

x          0                      [tex]\displaystyle \frac{\pi}{2}[/tex]                       [tex]\displaystyle \frac{3\pi}{2}[/tex]                      [tex]2\pi[/tex]

[tex]\cos(x)[/tex]             +            Ф           -           Ф            +          

[tex]4-2 \sin(x)[/tex]                                 +

f'(x)                +             Ф          -            Ф           +            

f(x)          (croissante)      (décroissante)     (croissante)

Comme dit précédemment, les extremums de f sont atteints en [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex], et [tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex].

Au vu des variations de f, le maximum de f est atteint en [tex]x=\frac{\pi}{2}[/tex], et ce maximum vaut:

[tex]\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=4 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)-\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)^{2}=4-1=3[/tex].

Le maximum de f sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est donc égal à 3.

Le minimum de f est atteint en [tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex], et ce minimum vaut:

[tex]\displaystyle f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=4 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)-\left(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right)^{2}=4 \times (-1)-(-1)^{2}=-4-1=-5[/tex]

Le minimum de f sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est donc égal à -5.