Bonjour, est ce que pouvez vous m'aider a ces deux exercices(51,52) s'il vous plait. Merci :)

Réponse:

51

Un+1 / Un = (n+4)/(2n+1)

n+4-2n-1 = -n+3

-n+3 ≤ 0 <=>

-n ≤ -3 <=>

n ≥ 3

Pour n ≥ 3

(n+4)-(2n+1) ≤ 0

n+4 ≤ 2n+1

(n+4)/(2n+1) ≤ 1

Un+1 / Un ≤ 1

La suite (Un) est décroissante pour n ≥ 3

52

1) f(x) = x + 1/(x+1) sur [0;+∞[

f'(x) = 1 - 1/(x+1)²

f'(x) = [(x+1)²-1]/(x+1)²

f'(x) = [(x+1)(x-1)]/(x+1)²

f'(x) = (x-1)/(x+1)

f'(x) ≥ 0 pour x ≥ 1

f(x) est croissant sur [1;+∞[

Un = f(n) donc Un est croissante pour tout n.

2)

Vn+1 / Vn = 4²ⁿ⁺² / 4²ⁿ = 4²

Vn+1 / Vn ≥ 1 donc la suite est croissante pour tout n.

3)

Wn+1 - Wn = (3-0,5ⁿ⁺¹)-(3-0,5ⁿ) = 0,5ⁿ⁺¹-0,5ⁿ = 0,5ⁿ(0,5-1) = -0,5×0,5ⁿ

Wn+1 - Wn < 0 donc la suite est decroissante pour tout n.

4)

tn+1- tn = (n+1)/3ⁿ⁺¹ - n/3ⁿ

tn+1 - tn = (n+1 - 3n)/3ⁿ⁺¹

tn+1 - tn = (1-2n)/3ⁿ⁺¹

3ⁿ⁺¹ > 0 et 1-2n ≤ 0 pour n ≥ 1

tn+1 - tn ≤ 0 pour n ≥1

La suite est decroissante pour n≥1

5)

f(x) = 5/x³ - 4 = 5x⁻³ - 4 pour x > 0

f'(x) = -15x⁻²

f'(x) ≤ 0 pour tout x > 0

kn = f(n) donc la suite est decroissante pour n≥ 1

6)

Ln+1 - Ln = - 1/(n²+1)

Ln+1 - Ln < 0 pour tout n

La suite Ln est décroissante pour tout n.